Figura 1 – A equação da superelipse em coordenadas cartesianas, com a ≠ 0 e b ≠ 0 e o expoente p ≥ 0. O quadrículo corresponde ao caso a = b e p ≥ 2 (Crédito: R. N. Onody)
Por: Prof. Roberto N. Onody *
Confesso que quando fui escolher o título desse trabalho, hesitei muito antes de optar pela palavra quadrículo. Isso porque, nos dicionários esse termo já existe, mas com significado bem diferente daquele que eu quero emprestar aqui. Nos dicionários, quadrículo significa quadrado pequeno.
Figura 2 – Curvas da superelipse para os valores a = b = 1, temos: (A) Um formato Apple Watch, para p = 4; (B) Um formato estrela, para p = 1/3 (Crédito: R. N. Onody)
Peço vênia ao leitor mais atento às questões de língua portuguesa ou brasileira, para atribuir à palavra quadrículo um novo significado – uma figura geométrica intermediária entre o quadrado e o círculo. Dessa maneira, quadrículo é um neologismo incompleto construído por aglutinação. O acento tônico é necessário para distinguir da primeira pessoa (no tempo presente) do verbo quadricular. A palavra inglesa correspondente é – squircle (square + circle), com o mesmo significado matemático. Descartei, por sua tenebrosa sonoridade, a alternativa do neologismo quadráculo.
Há que se tomar cuidado com a palavra quadrículo (squircle), pois ela tem 2 significados matemáticos bem diferentes [1].
Um deles se refere à curva de uma superelipse. A superelipse foi proposta por Gabriel Lamé em 1818 (veja Figura 1). Na equação, temos os ´semieixos´ a ≠ 0 e b ≠ 0 e o expoente p ≥ 0. O quadrículo corresponde ao caso particular em que os ´semieixos´ são iguais (a = b) e o expoente p ≥ 2. Quando p = 2, temos o círculo de raio a e no limite p → ∞ obtemos, assintoticamente, o quadrado com aresta 2a.
Vemos na Figura 2 (A) que, com a = b = 1 e p = 4, o quadrículo ganha a forma de um design da Apple. Para o parâmetro p no intervalo (0,2), a curva adquire o formato de uma estrela de 4 pontas [Figura 2 (B)]. No limite p → 0, ela colapsa no formato do sinal aritmético +.
Figura 3 – A equação do quadrículo de Fernández Guasti em coordenadas cartesianas. Diferentemente do parâmetro p da superelipse (que só forma um quadrado no limite do infinito), o parâmetro s varia continuamente no intervalo [0,1]. Para s = 0 é um círculo de raio r, para s = 1 é um quadrado de aresta 2r (para |x| ≤ r e |y| ≤ r) (Crédito: R. N. Onody)
Uma outra definição matemática do quadrículo, foi proposta por Fernández Guasti [2], ao estudar padrões de difração da luz através de aberturas com contornos na forma do quadrículo (Figura 3).
Na Figura 4, temos as curvas do quadrículo de Fernández Guasti (que abreviaremos FG) para diferentes valores do parâmetro s [3]. Para s = 0 é um círculo de raio r e para s = 1 é um quadrado de aresta 2r.
Figura 4 – Curvas do quadrículo FG para vários valores do parâmetro s. Ela é um círculo para s = 0 e um quadrado para s = 1 (para |x| ≤ r e |y| ≤ r) (Crédito: ref. [3])
Se na equação do quadrículo de FG (Figura 3) fizermos r = s, obteremos uma outra transição contínua para 0 ≤ s ≤ 1 [4]. Só que, desta vez, começa como um único ponto em s = 0 que se transforma num quadrado com aresta de tamanho 2 em s = 1 (Figura 5).
O quadrículo de FG pode ser estendido para três dimensões (veja equação na Figura 6). Nesse caso, temos em s = 0 uma esfera e em s = 1, um cubo (Figura 7).
Figura 5 – Curvas do quadrículo FG quando r = s para diferentes valores do parâmetro s. Ela é um ponto para s = 0 e um quadrado de aresta igual a 2 para s = 1 (para |x| ≤ 1 e |y| ≤ 1) (Crédito: ref. [4])
A palavra ´squircle´ também tem sido usada como uma forma de pensar, agir e desenvolver novas habilidades num mundo cada vez mais complexo e competitivo. Nesse contexto, o objetivo é fazer caminhar juntos a razão (square) e a intuição (circle) de maneira sinérgica [5].
Figura 6 – Equação da versão tridimensional. Crédito: ref. [3]
Figura 7 – Superfícies 3D. Para s = 0 temos uma esfera de raio r, para s = 1 temos um cubo com aresta 2r para |x| ≤ r, |y| ≤ r e |z| ≤ r. (Crédito: ref. [3])
*Físico, Professor Sênior do IFSC – USP
e-mail: onody@ifsc.usp.br
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(Agradecimento: ao Sr. Rui Sintra da Assessoria de Comunicação)
Referências:
[1] Squircle — from Wolfram MathWorld
[2] doi:10.1016/j.ijleo.2005.01.018 (uam.mx)
[3] Chamberlain Fong, squircular calculations (arxiv.org)
[4] Chamberlain Fong, Mappings for Squaring the Circular Disc (arxiv.org)
[5] Francis Cholle, “Squircle: a new way to think for a new world”, ed. Squircle Academy (2020).
Assessoria de Comunicação – IFSC/USP
